题目内容

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦.当直线斜率为0时,

(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
(1),(2)

试题分析:(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 一个是,另一个是点在椭圆上即,所以.所以椭圆的方程为.(2)研究直线与椭圆位置关系,关键确定参数,一般取直线的斜率,① 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知,② 当两弦斜率均存在且不为0时,设直线的方程为,将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得,所以.同理,.所以,利用不等式或函数单调性可得的取值范围是综合①与②可知,的取值范围是
【解】(1)由题意知,
所以.              2分
因为点在椭圆上,即
所以
所以椭圆的方程为.                                6分
(2)① 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知;                                       7分
② 当两弦斜率均存在且不为0时,设
且设直线的方程为
则直线的方程为
将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得
所以
所以.                         10分
同理,
所以,           12分
,则

因为,所以
所以
所以
综合①与②可知,的取值范围是.               16分
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