题目内容
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线斜率为0时,.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
(1),(2).
试题分析:(1)求椭圆标准方程,只需两个独立条件. 一个是,另一个是点在椭圆上即,所以.所以椭圆的方程为.(2)研究直线与椭圆位置关系,关键确定参数,一般取直线的斜率,① 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知,② 当两弦斜率均存在且不为0时,设直线的方程为,将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得,所以.同理,.所以,利用不等式或函数单调性可得的取值范围是综合①与②可知,的取值范围是.
【解】(1)由题意知,,,
所以. 2分
因为点在椭圆上,即,
所以.
所以椭圆的方程为. 6分
(2)① 当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知; 7分
② 当两弦斜率均存在且不为0时,设,,
且设直线的方程为,
则直线的方程为.
将直线的方程代入椭圆方程中,并整理得,
所以,,
所以. 10分
同理,.
所以, 12分
令,则,,,
设,
因为,所以,
所以,
所以.
综合①与②可知,的取值范围是. 16分
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