题目内容

设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用an表示an+1；
（2）求证：数列{an-
2
3
}是等比数列；
（3）当a1=
7
6
时，求数列{an}的通项公式．
（1）由韦达定理得：α+β=
an+1
an
，α•β=
1
an
，
由6α-2αβ+6β=3得6•
an+1
an
-
2
an
=3，
故an+1=
1
2
an+
1
3．
．
（2）证明：因为an+1-
2
3
=
1
2
an-
1
3
=
1
2
（an-
2
3
），
所以
an+1-
2
3
an-
2
3
=
1
2
，
故数列{an-
2
3
}是公比为
1
2
的等比数列；
（3）当a1=
7
6
时，数列{an-
2
3
}的首项a1-
2
3
=
7
6
-
2
3
=
1
2
，
故an-
2
3
=
1
2
•(
1
2
)n-1=(
1
2
)n，
于是．an=(
1
2
)n+
2
3
．
练习册系列答案
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设二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N*）有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用an表示an+1；
（2）求证：{an-
2
3
}是等比数列；
（3）若a1=
7
6
，求数列{an}的通项公式．
设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
（1）试用an表示an+1；
（2）求证：{an-
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}是等比数列．
设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1
（1）试用an表示an+1；            
（2）证明{an-
2
3
}是等比数列；
（3）设cn=n•(an-
2
3
)，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜
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3
（n∈N+）．
设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1
（1）试用an表示an+1；
（2）证明{an-
2
3
}是等比数列；
（3）设cn=n•(an-
2
3
)，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明Tn＜2，（n∈N*）．
设二次方程anx2-an+1x+1=0，n∈N+有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1．
（1）证明：{an-
2
3
}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）设cn=n•(an-
2
3
)，n∈N+，Tn为{cn}的前n项和，证明：Tn＜2，（n∈N+）．

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