Question

已知函数
(1)证明:对于一切的实数x都有f(x)x;
（2）若函数存在两个零点,求a的取值范围
(3)证明:

Answer 1

（1）构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性证明，（2）
(3) 利用放缩法证明

试题分析：（1）令
则            2分
当时，，当时，      3分
故在单调递减，上单调递增
所以有，从而有对一切实数成立      4分
（2）由=0得,         5分
令h(x)=                        6分
则,观察得x=1时=0             7分
当x>1时>0,当0<x<1时 <0,=h(1)=e+1           8分
又
函数存在两个零点,则a的取值范围为      9分
(3) 由(1)知,令 …11分

=       13分
所以            14分
点评：此类问题是在知识的交汇点处命题，将函数、导数、不等式、方程的知识融合在一起进行考查，重点考查了利用导数研究函数的单调性与最值等知识