Question

已知函数．
（Ⅰ）若为定义域上的单调增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值；
（Ⅲ）当时，且，证明：.

Answer 1

(1)  (2)  
(3)根据题意，构造函数，利用导数判定单调性的运用，然后求证明不等式。

试题分析：解：（Ⅰ），   ∴
因为为定义域上的单调增函数，由对恒成立，   ∴，而，所以
∴当时，为定义域上的单调增函数
（Ⅱ）当时，由，得
当时，，当时，
∴在时取得最大值，∴此时函数的最大值为
（Ⅲ） 当时，在上递增
令
在上总有，即在上递增
当时，，
即
令，,在上递减, ∴  即，  ∵，∴，综上成立，其中．
点评：主要是考查了函数的单调性和导数符号之间关系的运用，属于中档题。