Question

已知函数的定义域为,当时,,且对于任意的，恒有成立.
(1)求；
(2)证明：函数在上单调递增；
(3)当时,
①解不等式；
②求函数在上的值域.

Answer 1

(1)  (2) 设，则， ∴函数在上单调递增(3) ①②

试题分析：（1）∵对于任意的恒有成立.
∴令，得：2分
（2）设，则      4分

7分
∴函数在上单调递增             8分
（3）①∵对于任意的恒有成立.
∴     
又∵，
∴等价于，    10分
解得：    12分
∴所求不等式的解集为
②
由①得：
由（2）得：函数在上单调递增
故函数在上单调递增      13分
，  15分
∴函数在上的值域为   16分
点评：第一问抽象函数求值关键是对自变量合理赋值，第二问判定其单调性需通过定义：在下比较的大小关系，第三问解不等式，求函数值域都需要结合单调性将抽象函数转化为具体函数，利用单调性找到最值点的位置