Question

16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$            （t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（1）求曲线C和直线l的直角坐标系方程；
（2）设点P（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入方程y²=4x可得：3t²-8t-32=0．|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=4x．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入方程y²=4x可得：3t²-8t-32=0．
∴t₁t₂=-$\frac{32}{3}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．