Question

17．已知等差数列{a_n}的公差不为零，且满足a₁=6，a₂，a₆，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由a₂，a₆，a₁₄成等比数列．可得${a}_{6}^{2}$=a₂•a₁₄，即（6+5d）²=（6+d）（6+13d），化简即可得出．
（2）b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{2}{（n+1）（2n+4）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵a₂，a₆，a₁₄成等比数列．∴${a}_{6}^{2}$=a₂•a₁₄，
∴（6+5d）²=（6+d）（6+13d），化为d²-2d=0，d≠0，解得d=2．
所以a_n=6+2（n-1）=2n+4．
（2）b_n=$\frac{2}{{（n+1）{a_n}}}$=$\frac{2}{（n+1）（2n+4）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n═+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．