Question

9．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，则AD与平面AA₁C₁C所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 利用题目的空间直角坐标系，求出平面AA₁C₁C的法向量，向量AD，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 解：取AC的中点E，BE为x轴，BE的垂线为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，D在棱BB₁上，且BD=1，
则E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），D（0，0，1），
平面AA₁C₁C的法向量可以为：$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}$，1），
则AD与平面AA₁C₁C所成的角的正弦值为：$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AD}|}|$=$|\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}+1}}|$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．