Question

已知正数a，b满足ab=a+b+3．
（1）求a+b的取值范围；  
（2）求a+2b的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于正数a，b满足ab=a+b+3，利用基本不等式可得a+b+3=ab≤(

a+b

2

)2，解出即可；
（2）由于正数a，b满足ab=a+b+3，可得b=

a+3

a-1

（a＞1）．变形利用基本不等式可得a+2b=a+

2(a+3)

a-1

=a-1+

8

a-1

+3≥2

(a-1)• 8 a-1

+3即可．

解答： 解：（1）∵正数a，b满足ab=a+b+3，∴a+b+3=ab≤(

a+b

2

)2，
化为（a+b）²-4（a+b）-12≥0，即（a+b-6）（a+b+2）≥0，解得a+b≥6．
∴a+b的取值范围是[6，+∞）；
（2）∵正数a，b满足ab=a+b+3，∴b=

a+3

a-1

（a＞1）．
∴a+2b=a+

2(a+3)

a-1

=a-1+

8

a-1

+3≥2

(a-1)• 8 a-1

+3=3+4

2

，当且仅当a=2

2

-1时取等号．
∴a+2b的取值范围是[3+4

2

，+∞)．

点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．