Question

1．在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC，当底边上高h∈（0，t]时，△ABC的面积取得最大值$\frac{{3\sqrt{3}{R^2}}}{4}$，则t的取值范围是[$\frac{3R}{2}$，2R）．

Answer 1

分析 设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，则x²=h（2R-h），得到S²=x²h²=h³（2R-h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），构造函数（h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），利用导数求出函数的最值，即可得到t的范围．

解答 解：设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，则x²=h（2R-h），
∵S_△ABC=xh，
∴S²=x²h²=h³（2R-h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），
令f（h）=-h⁴+2Rh³，（0＜h＜2R），
∴f′（h）=-4h³+6Rh²=2h²（3R-2h），
令f′（h）=0，解得h=$\frac{3R}{2}$，
当0＜h＜$\frac{3R}{2}$时，f′（h）＞0，函数f（h）单调递增，
当$\frac{3R}{2}$＜h＜2R时，f′（h）＜0，函数f（h）单调递减，
∴f（h）_max=f（$\frac{3R}{2}$）=$\frac{27{R}^{4}}{16}$，
∴S_max=$\frac{3\sqrt{3}{R}^{2}}{4}$，
∴h=$\frac{3R}{2}$∈（0，t），
∴t的范围为[$\frac{3R}{2}$，2R），
故答案为：[$\frac{3R}{2}$，2R）．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的最值，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，属于中档题