Question

11．如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”，规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花，其余地方种草，若AB=a，∠DAB=θ，种草的面积为S₁，种花的面积为S₂，比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$称为“规划和谐度”．
（1）试用a，θ表示S₁，S₂；
（2）若a为定值，BC足够长，当θ为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）求出△ABD的面积为，设正方形BEFG的边长为t，利用三角形的相似求出S₂，然后求出S₁；
（2）由（1）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+tanθ）^{2}}{2tanθ}$-1，通过tanθ∈（0，+∞），通过基本不等式推出，当θ=$\frac{π}{4}$时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．

解答 解：（1）∵BD=atanθ，
∴△ABD的面积为$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$（$θ∈（0，\frac{π}{2}）$）…（2分）
设正方形BEFG的边长为t，
则由$\frac{FG}{AB}=\frac{DG}{DB}$得$\frac{t}{a}=\frac{atanθ-t}{atanθ}$，∵t=$\frac{atanθ}{1+tanθ}$，…（4分）
∴S₂=$\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{（1+tanθ）^{2}}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$-S₂=$\frac{1}{2}{a}^{2}tanθ$-$\frac{{a}^{2}ta{n}^{2}θ}{（1+tanθ）^{2}}$，…（6分）
（2）由（1）$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+tanθ）^{2}}{2tanθ}$-1，…（8分）
∵tanθ∈（0，+∞），
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{（1+tanθ）^{2}}{2tanθ}$-1=$\frac{1}{2}$（tanθ+$\frac{1}{tanθ}$≥1，…（10分）
当且仅当tanθ=1时取等号，此时θ=$\frac{π}{4}$．
∴当θ=$\frac{π}{4}$时，“规划和谐度”有最小值，最小值是1．…（12分）

点评 本题考查解三角形的实际应用，基本不等式的应用，考查计算能力．