题目内容
如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成，其中O为PQ的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB∥CD∥PQ，且AB、CD间的距离为1km．设四边形ABCD的周长为ckm．（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB长；
（2）求周长c的最大值．
考点：三角函数的最值,在实际问题中建立三角函数模型
专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,三角函数的求值
分析：（1）连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，运用等腰直角三角形的性质，
结合勾股定理计算即可得到AB的长；
（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+
），
再由
≤
（当且仅当a=b取得等号），计算即可得到最大值．
结合勾股定理计算即可得到AB的长；
（2）设∠BOM=θ，由解直角三角形可得BM，OM，即可得到c=AB+CD+BC+AD=2（sinθ+cosθ+
| 1+(sinθ-cosθ)2 |
再由
| a+b |
| 2 |
|
解答：
（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，
∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴CD=
PQ=1，
∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴RO=
PQ=1，NO=
RO=
．
∵MN=1，∴MO=
．
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=
=
，
∴AB=2BM=
．
（2）设∠BOM=θ，0＜θ＜
，
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．
∵MN=1，∴CN=RN=1-ON=OM=cosθ，
∴BC=AD=
，
∴c=AB+CD+BC+AD=2(sinθ+cosθ+
)，≤2
=2
，
当sinθ+cosθ=
，即有sin2θ=
，
即θ=
或
时取等号．
∴当θ=
或θ=
时，周长c的最大值为2
km．
（1）解：连结RO并延长分别交AB、CD于M、N，连结OB，∵C、D分别为QR、PR的中点，PQ=2，∴CD=
| 1 |
| 2 |
∵△PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，∴RO=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵MN=1，∴MO=
| 1 |
| 2 |
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=
| BO2-OM2 |
| ||
| 2 |
∴AB=2BM=
| 3 |
（2）设∠BOM=θ，0＜θ＜
| π |
| 2 |
在Rt△BMO中，BO=1，∴BM=sinθ，OM=cosθ．
∵MN=1，∴CN=RN=1-ON=OM=cosθ，
∴BC=AD=
| 1+(sinθ-cosθ)2 |
∴c=AB+CD+BC+AD=2(sinθ+cosθ+
| 1+(sinθ-cosθ)2 |
| 2 |
(sinθ+cosθ)2+(
|
| 6 |
当sinθ+cosθ=
| 1+(sinθ-cosθ)2 |
| 1 |
| 2 |
即θ=
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
∴当θ=
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
| 6 |
点评：本题考查三角函数的最值，考查重要不等式的运用，考查同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．
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双曲线
-
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| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
抛物线y2=2x的准线方程是（ ）
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| ||
| B、x=-1 | ||
C、y=-
| ||
| D、y=-1 |
已知实数x，y满足
，则z=-3x+2y的最大值为（ ）
|
| A、-4 | B、2 | C、4 | D、6 |