Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数且对定义域内任意的x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1．
（1）求f（1）的值；
（2）解不等式f（3x）+f（2x-1）≤2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法令x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）解不等式f（3x）+f（2x-1）≤2．

解答： 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0；
（2）∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
则不等式f（3x）+f（2x-1）≤2等价为f[3x（2x-1）]≤f（9）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
∴

3x＞0 2x-1＞0 3x(2x-1)≤9

，即

x＞0 x＞ 1 2 2x2-x-3≤0

，解得

1

2

＜x≤

3

2

，
故不等式f（3x）+f（2x-1）≤2的解集是（

1

2

，

3

2

]．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性之间的关系是解决本题的关键．