Question

已知函数f（x）=x²（e^x+e^-x）-（2x+1）²（e^2x+1+e^-2x-1），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：不等式的解法及应用

分析：根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可．

解答： 解：构造函数g（x）=x²（e^x+e^-x），
则g（x）=x²（e^x+e^-x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，
则由f（x）＞0，得x²（e^x+e^-x）＞（2x+1）²（e^2x+1+e^-2x-1），
即g（x）＞g（2x+1），
∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x+1|），
即|x|＞|2x+1|，
即x²＞（2x+1）²，
∴3x²+4x+1＜0，
解得-1＜x＜-

1

3

，
故答案为：（-1，-

1

3

）．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．