Question

16．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{7}$，对于任意的n∈N^*，a_n+1=$\frac{7}{2}$a_n（1-a_n），则a₂₀₁₅-a₂₀₁₆=（　　）

• A． -$\frac{2}{7}$
• B． $\frac{2}{7}$
• C． -$\frac{3}{7}$
• D． $\frac{3}{7}$

Answer 1

分析 a₁=$\frac{1}{7}$，对于任意的n∈N^*，a_n+1=$\frac{7}{2}$a_n（1-a_n），可得a₂=$\frac{7}{2}{a}_{1}（1-{a}_{1}）$=$\frac{3}{7}$，同理可得：a₃=$\frac{6}{7}$，a₄=$\frac{3}{7}$，…，可得当n≥2时，a_n+2=a_n．即可得出．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{7}$，对于任意的n∈N^*，a_n+1=$\frac{7}{2}$a_n（1-a_n），
∴a₂=$\frac{7}{2}{a}_{1}（1-{a}_{1}）$=$\frac{7}{2}×\frac{1}{7}×\frac{6}{7}$=$\frac{3}{7}$，
a₃=$\frac{7}{2}×\frac{3}{7}×\frac{4}{7}$=$\frac{6}{7}$，
a₄=$\frac{3}{7}$，…，
∴当n≥2时，a_n+2=a_n．
则a₂₀₁₅-a₂₀₁₆=a_1+1007×2-a_1+1007×2+1
=a₃-a₂
=$\frac{6}{7}-\frac{3}{7}$
=$\frac{3}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．