Question

4．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，（e≈2.71），则
（1）函数g（f（x））的单调递增区间为（0，+∞）；
（2）若有g（f（a））=f（b）+1，实数b的取值范围为[0，+∞）．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到f（x）的单调区间，从而求出g（f（x））的单调区间；（2）根据基本不等式的性质得到f（b）+1≥1，从而求出b的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）＞0，f（x）在R上递增，
g′（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=$\frac{{e}^{2x}-1}{{2e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞0，令g′（x）＜0，解得：x＜0，
∴g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
根据复合函数同增异减的原则，
函数g（f（x））在（0，+∞）单调递增；
故答案为：（0，+∞）；
（2）显然f（x）的值域为R，
∴g（f（a））的值域是g（x）的值域，
而g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）≥1，
∴f（b）+1≥1，即f（b）≥0，
而f（0）=0，且f（x）在R上单调递增，
∴b≥0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查基本不等式的应用，是一道中档题．