Question

8．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${a_{k_n}}∈\{{a_1}，{a_2}，…{a_n}，…\}$，且${a_{k_1}}，{a_{k_2}}，…，{a_{k_n}}，…$成等比数列，当k₁=2，k₂=4时，求数列{k_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中项，可得$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（II）设等比数列的公比为q，由题意知$q=\frac{{{a_{k_2}}}}{{{a_{k_1}}}}=\frac{a_4}{a_2}=2$，${a_{k_n}}={k_n}$，又${a_{k_n}}={a_{k_1}}•{2^{n-1}}={2^n}$，${k_n}={2^n}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中项，∴$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，
又$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}（n≥2）$，
两式相减并化简得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1，故数列{a_n}是公差为1的等差数列，
当n=1时，$2{a_1}=2{S_1}={a_1}^2+{a_1}$，又a₁＞0，∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（Ⅱ）设等比数列的公比为q，由题意知$q=\frac{{{a_{k_2}}}}{{{a_{k_1}}}}=\frac{a_4}{a_2}=2$，
${a_{k_n}}={k_n}$，又${a_{k_n}}={a_{k_1}}•{2^{n-1}}={2^n}$，
${k_n}={2^n}$，
${T_n}=2+{2^2}+…+{2^n}=\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．