Question

9．已知椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1），其左、右焦点分别为F₁、F₂，|F₁F₂|=2c．若此椭圆上存在点P，使P到直线x=$\frac{1}{c}$的距离是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则b的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用椭圆上存在点P，使P到直线x=$\frac{1}{c}$的距离是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，求出P的横坐标，进而可得c的范围，即可得出结论．

解答 解：设P（x，y），则
∵椭圆上存在点P，使P到直线x=$\frac{1}{c}$的距离是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，
∴|PF₁|+|PF₂|=2|$\frac{1}{c}$-x|=2a，∴x=$\frac{1}{c}$-a，
∴-a≤$\frac{1}{c}$-a≤a，∴$\frac{1}{c}$≤2a=2，
∴c$≥\frac{1}{2}$，
∴1-b²≥$\frac{1}{4}$，
∵0＜b＜1，∴0＜b≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴b的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的定义，等差中项的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．