为宣传3月5日学雷锋纪念日.成都七中在高一.高二年级中举行学雷锋知识竞赛.每年级出3人组成甲乙两支代表队.首轮比赛每人一道必答题.答对则为本队得1分.答错不答都得0分.已知甲队3人每人答对的概率分别为$\frac{3}{4}.\frac{2}{3}.\frac{1}{2}$.乙队每人答对的概率都是$\frac{2}{3}$．设每人回答正确与否相互之间没有影响.用X表示甲队总得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，乙队每人答对的概率都是$\frac{2}{3}$．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分．
（1）求随机变量X的分布列及其数学期望E（X）；
（2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．

分析（1）X的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
（2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A，包含“甲队3分且乙队1分”，“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，由此能求出甲队和乙队得分之和为4的概率．

解答解：（1）X的可能取值为0，1，2，3．
$P（X=0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$，
$P（X=1）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P（X=2）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$，
$P（X=3）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

…（6分）
$E（X）=0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}=\frac{23}{12}$．…（7分）
（2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A，包含“甲队3分且乙队1分”，
“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，
则：$P（A）=\frac{1}{4}×C_3^1×\frac{2}{3}×{（\frac{1}{3}）^2}+\frac{11}{24}×C_3^2×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{1}{3}$．…（12分）

点评本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，考查考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．