Question

11．设函数f（x）=x²-2x+2，（其中x∈[t，t+1]，t∈R）的最小值为g（t），最大值为h（t），求g（t），h（t）的表达式．

Answer 1

分析 确定对称轴x=1，利用对称轴与区间的关系分类得出当t≥1时，当t≤0时，当0＜t＜1时，当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，
当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，结合单调性判断最大值，最小值求解即可．

解答 解；函数f（x）=x²-2x+2，
对称轴x=1，
（1），x∈[t，t+1]，f（x）单调递增，
所以最小值为g（t）=f（t）=t²-2t+2，最大值为h（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1，
（2）当t≤0时，x∈[t，t+1]，f（x）单调递减，
所以最大值为h（t）=f（t）=t²-2t+2，最小值为g（t）=（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1，
（3）当0＜t＜1时，最小值为g（t）=f（1）=1，
当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，最大值为h（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1．
当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，最大值为h（t）=f（t）=t²-2t+2．
综上：最小值为g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-2t+2，t≥1}\\{{t}^{2}+1．t≤0}\\{1，0＜t＜1}\end{array}\right.$．最大值为h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1，t≥\frac{1}{2}}\\{{t}^{2}-2t+2，t≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$

点评 本题综合运用二次函数的性质，分类思想求解最大值，最小值的问题，属于中档题，关键判断对称轴与区间的关系．