Question

2．在等腰梯形ABCD中，∠A=$\frac{π}{3}$，边AB、DC的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}}$|=|$\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{CD}}$|，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （0，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，3]
• D． （$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．设|$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}}$|=|$\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{CD}}$|=k，k∈[0，1]．可得$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$，$\overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}$=（-k，0）．利用$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$，$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$，可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}（k-2）^{2}+1$=f（k），再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
A（0，0），B（2，0），C$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，D$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{CD}$=（-1，0）．
设|$\frac{\overrightarrow{BM}}{\overrightarrow{BC}}$|=|$\frac{\overrightarrow{CN}}{\overrightarrow{CD}}$|=k，k∈[0，1]．
则$\overrightarrow{BM}$=k$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$，
$\overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}$=（-k，0）．
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=（2，0）+$（-\frac{k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$=$（\frac{4-k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$，
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$=$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$+（-k，0）=$（\frac{3}{2}-k，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$（\frac{4-k}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}k）$•$（\frac{3}{2}-k，\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{4-k}{2}×（\frac{3}{2}-k）$+$\frac{3}{4}k$=$\frac{1}{2}（k-2）^{2}+1$=f（k），
∵f（k）在[0，1]上单调递减，
∴最小值为f（1）=$\frac{3}{2}$，最大值为f（0）=3．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的取值范围是$[\frac{3}{2}，3]$．
故选：C．

点评 本题考查了数量积的运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．