Question

18．设直线l经过点P（3，4），圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=4．
（1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
（2）若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得直线l经过的定点是P（3，4），圆C的圆心是C（1，-1），即可求出当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率；
（2）利用圆心到直线的距离小于圆的半径，求直线l的斜率的取值范围．

解答 解：（1）由已知得直线l经过的定点是P（3，4），
而圆C的圆心是C（1，-1），所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k=$\frac{5}{2}$．
（2）由题意，设直线l的方程为y-4=k（x-3），
即kx-y+4-3k=0．又直线l与圆C：（x-1）²+（y+1）²=4交于两个不同的点，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即$\frac{|5-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2．解得k＞$\frac{21}{20}$．
所以直线l的斜率的取值范围为k＞$\frac{21}{20}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．