Question

14．已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax-1，若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 ?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），转化为x₂∈[-1，2]时，g（x₂）的值域A与f（x₁）的值域B的关系是A?B，由此求出实数a的取值范围．

解答 解：若?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），即g（x）在[-1，2]上的值域要包含f（x）在[-1，2]上的值域，
又在[-1，2]上，f（x）∈[-1，3]．
①当a＜0时，g（x）=ax-1单调递减，g（x）∈[2a-1，-a-1]，此时$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤-1}\\{-a-1≥3}\end{array}\right.$，解得a≤-4，
②当a=0时，g（x）=-1，显然不满足题设；
③当a＞0时，g（x）=ax-1单调递增，g（x）∈[-a-1，2a-1]，此时$\left\{\begin{array}{l}{-a-1≤-1}\\{2a-1≥3}\end{array}\right.$，解得a≥2．
综上，?x₁∈[1，2]，?x₂∈[-1，2]使得f（x₁）=g（x₂）的取值范围为（-∞，-4]∪[2，+∞）．

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，解题时应根据题意构造函数，求出函数的最值和值域，分类解答，是综合性题目．