Question

19．圆C经过直线x+y-1=0与x²+y²=4的交点，且圆C的圆心为（-2，-2），则过点（2，4）向圆C作切线，所得切线方程为x=2和5x-12y+38=0．

Answer 1

分析 设出经过直线x+y-1=0与x²+y²=4的交点的圆系方程，由圆心坐标求出λ，得到圆的方程，然后分切线的斜率存在和不存在求得圆的切线方程．

解答 解：设过直线x+y-1=0与x²+y²=4的交点的圆的方程为x²+y²-4+λ（x+y-1）=0，
即x²+y²+λx+λy-4-λ=0，∴圆心坐标为（$-\frac{λ}{2}，-\frac{λ}{2}$），
∵圆C的圆心为（-2，-2），∴$-\frac{λ}{2}=-2$，得λ=4．
∴圆C的方程为x²+y²+4x+4y-8=0，即（x+2）²+（y+2）²=16．如图，
过点（2，4）向圆C作切线，当切线的斜率不存在时，
切线方程为x=2；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x-2），
即kx-y-2k+4=0．
由圆心到切线的距离d=$\frac{|-2k-1×（-2）-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=4$，解得k=$\frac{5}{12}$．
∴切线方程为$\frac{5}{12}x-y-2×\frac{5}{12}+4=0$，即5x-12y+38=0．
综上，所求圆的切线方程为x=2和5x-12y+38=0．
故答案为：x=2和5x-12y+38=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查圆的切线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．