题目内容
已知动圆C经过点F（0，1），且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积的最小为 ．
考点：直线与圆的位置关系
专题：直线与圆
分析：根据由于圆经过点F（0，1）且与直线y=-1相切，所以圆心C到点F与到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x2=4y，根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解．
解答：
解：圆C的面积的最小，圆C半径r最小才行．
设圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2，
（0-a）2+（1-b）2=r2，
r=b+1，
联立解得b=
，
≤r，
r≥
=
，
当C（a，b）与O（0，0）在3x-4y+20＞0区域内时，
+1=
，
解得a≤-2，或a≥
，
当a=-2时，b=1，r=2，当a=
时，b=
，r＞2 不符，舍．
∴圆C的面积的最小为S=4π．
故答案为：4π．
设圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2，
（0-a）2+（1-b）2=r2，
r=b+1，
联立解得b=
| a2 |
| 4 |
| |3a-4b+20| |
| 5 |
r≥
| |3a-4b+20| |
| 5 |
| |-a2+3a+20| |
| 5 |
当C（a，b）与O（0，0）在3x-4y+20＞0区域内时，
| a2 |
| 4 |
| -a2+3a+20 |
| 5 |
解得a≤-2，或a≥
| 10 |
| 3 |
当a=-2时，b=1，r=2，当a=
| 10 |
| 3 |
| 25 |
| 9 |
∴圆C的面积的最小为S=4π．
故答案为：4π．
点评：本题考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要注意点与圆、线与圆的位置关系在求圆的方程中的应用．
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