已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=.函数y=f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$.将y=f(x)的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度后得到y=g在区间[0.$\frac{π}{4}$]内的最大值为$\sqrt{2}$．的最小正周期,(2)若x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，t）（t∈R），$\overrightarrow{n}$=（sinx-cosx，1），函数y=f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度后得到y=g（x）的图象且y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{4}$]内的最大值为$\sqrt{2}$．
（1）求t的值及y=f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π]，求y=f（x）的单调递增区间．

分析（1）进行数量积的坐标运算，并化简即可得出f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+t-1$，进而可求出g（x）=$\sqrt{2}sin2x+t-1$，根据g（x）在$[0，\frac{π}{4}]$内的最大值即可求得t=1，并可求出f（x）的最小正周期；
（2）先写出$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，根据x的范围便可求出$2x-\frac{π}{4}$的范围，而根据正弦函数的图象便可得出f（x）单调递增时2x-$\frac{π}{4}$的范围，进而求出x的范围，即得出y=f（x）的单调递增区间．

解答解：（1）$y=f（x）=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=2cosx（sinx-cosx）+t$=sin2x-cos2x+t-1=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+t-1$；
∴$y=g（x）=\sqrt{2}sin[2（x+\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]+t-1$=$\sqrt{2}sin2x+t-1$；
$x=\frac{π}{4}$时，g（x）取最大值$\sqrt{2}+t-1=\sqrt{2}$；
∴t=1；
且f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$；
（2）$f（x）=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$；
x∈[0，π]时，$2x-\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{4}]$；
∴$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}$，或$\frac{3π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{7π}{4}$时，即$0≤x≤\frac{3π}{8}$，或$\frac{7π}{8}≤x≤π$时，f（x）单调递增；
∴y=f（x）的单调递增区间为$[0，\frac{3π}{8}]$，$[\frac{7π}{8}，π]$．

点评考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，以及三角函数图象的平移变换，熟悉正弦函数的图象，增函数及增区间的定义．

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