Question

5．已知函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1-a，（a∈R）；
（1）若f（x）有零点，求实数a的取值范围
（2）当f（x）有零点时，讨论f（x）有零点的个数，并求出f（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）换元，分离参数，利用配方法可得结论；
（2）结合（1），分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）令（$\frac{1}{2}$）^x=t（t＞0），f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1-a=0
可化为a=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
∴a≥-1，f（x）有零点；
（2）a≥0，函数有1个零点x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+\sqrt{1+a}）$；
a=-1时，函数有1个零点x=0，
-1＜a＜0时，函数有两个零点x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1±\sqrt{1+a}）$；
a＜-1时，函数没有零点．

点评 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．