Question

在△ABC中，2sin²

A

2

=

3

sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，则

AC

AB

=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,正弦定理的应用

专题：综合题,解三角形

分析：利用2sin²

A

2

=

3

sinA，求出A，由余弦定理，得a²=b²+c²+bc　①，将sin（B-C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论．

解答： 解：∵2sin²

A

2

=

3

sinA，
∴1-cosA=

3

sinA，
∴sin（A+

π

6

）=

1

2

，又0＜A＜π，所以A=

2π

3

．
由余弦定理，得a²=b²+c²+bc　①，将sin（B-C）=2cosBsinC展开得sinBcosC=3cosBsinC，
所以将其角化边，得b•

a2+b2+c2

2ab

=3•

a2+c2-b2

2ac

•c，即2b²-2c²=a²　②，
将①代入②，得b²-3c²-bc=0，左右两边同除以bc，得

b

c

-3×

c

b

-1=0，③，
解③得

b

c

=

1+ 13

2

或

b

c

=

1- 13

2

（舍），
所以

AC

AB

=

1+ 13

2

．
故答案为

1+ 13

2

．

点评：本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．