Question

3．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设关于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=m（t≠0）有解，求实数t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）＜2x+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3＜2x+1}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（Ⅱ）由于|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥$|x-t-（x+\frac{1}{t}）|$=$|t+\frac{1}{t}|$=|t|+$\frac{1}{|t|}$，已知关于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=m（t≠0）有解，|t|+$\frac{1}{|t|}$≥2，另一方面，|t|+$\frac{1}{|t|}$=2，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-（x+3）＜2x+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-3}\\{x+3＜2x+1}\end{array}\right.$，
解得x＞2．
依题意m=2．
（Ⅱ）∵|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|≥$|x-t-（x+\frac{1}{t}）|$=$|t+\frac{1}{t}|$=|t|+$\frac{1}{|t|}$，
当且仅当（x-t）$（x+\frac{1}{t}）$=0时取等号，
∵关于x的方程|x-t|+|x+$\frac{1}{t}$|=m（t≠0）有解，
|t|+$\frac{1}{|t|}$≥2，
另一方面，|t|+$\frac{1}{|t|}$=2，
∴|t|+$\frac{1}{|t|}$=2，
解得t=±1．

点评 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等，属于中档题．