Question

12．求y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{3}$]的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx-cosx，由t=sin（x-$\frac{π}{4}$），根据正弦函数的性质求得t∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$]，将y=sinxcosx+sinx-cosx转化为y=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，利用二次函数的性质及函数的取值范围即可求得答案．

解答 解：y=sinx-cosx+sinxcosx，
令t=sinx-cosx，则sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，
由t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴t∈[-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]，
∴y=-$\frac{1}{2}$t²+t+$\frac{1}{2}$，t∈[-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]，
根据二次函数的性质知其对称轴t=1，
∴t在区间[-1，$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$]，单调递增，
∴y在x∈[0，$\frac{π}{3}$]的值域为[-1，$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$]．

点评 本题考查二倍角的正弦，考查二次函数的性质，重点体现了换元法和配方法，属于中档题．