Question

已知A、B、C为△ABC三内角，且sinA=

3

3

（1+cosA）；
（1）求角A；
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanC的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,同角三角函数间的基本关系

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用两角差的正弦公式化成2

3

sin（A-

π

6

）=

3

，进而求出A；
（Ⅱ）利用倍角公式及完全平方公式化简分子，利用平方差公式化简分母，求出tanB，由tanC=-tan（A+B），利用两角和的正切公式求解．

解答： 解：（1）由sinA=

3

3

（1+cosA），得3sinA-

3

cosA=

3

由两角差的正弦公式得：2

3

sin（A-

π

6

）=

3

∴sin（A-

π

6

）=

1

2

∴A=

π

3

（2）由

1+sin2B

cos2B-sin2B

=

(sinB+cosB)2

(cosB-sinB)•(cosB+sinB)

=

sinB+cosB

cosB-sinB

=

tanB+1

1-tanB

=-3
∴tanB=2
∴tanC=-tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

5 3 +8

11

．

点评：解决本题的关键是对三角函数式的化简，在三角函数式化简时要注意选择恰当的公式，有目标的进行化简．第（2）问中注意弦函数的齐次式与切函数的转化．