Question

已知x∈R，则函数f（x）=

x2+x+1

-

x2-x+1

的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：配方由两点间的距离公式可得f（x）的值域表示|PA|-|PB|的取值范围，由三角形的三边关系可得．

解答： 解：配方可得f(x)=

x2+x+1

-

x2-x+1

=

(x+ 1 2 )2+(0- 3 2 )2

-

(x- 1 2 )2+(0- 3 2 )2

，
构造点P（x，0），A(-

1

2

，

3

2

)，B(

1

2

，

3

2

)，
函数f（x）的值域表示|PA|-|PB|的取值范围．
由于三角形的两边之差小于第三边，
∴||PA|-|PB||＜|AB|=1，
故函数f（x）的值域为：（-1，1）．
故答案为：（-1，1）

点评：本题考查函数的值域，考虑几何意义是解决问题的关键，属中档题．