Question

5．过点（-1，0）的直线1与曲线y=$\sqrt{x}$相切，则曲线y=$\sqrt{x}$与l及x轴所围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 先求出切线方程，再利用定积分求面积．

解答 解：∵y=$\sqrt{x}$，∴y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
设切点为（a，$\sqrt{a}$），则切线方程为y-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
代入（-1，0），可得0-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（-1-a），
∴-1-a=-2a，
∴a=1，
∴切线方程为y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），即y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴曲线y=$\sqrt{x}$与l及x轴所围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}$+${∫}_{0}^{1}（\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}-\sqrt{x}）dx$=$\frac{1}{4}$+$（\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}）{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查切线方程，考查定积分知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．