Question

16．已知f（x）=-2lnx+2mx²+（8-m）x，m∈R．
（1）若y=f（x）在x=2处有极值，求m的值；
（2）求y=f（x）在[m²，m]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用f′（2）=0求m的值；
（2）f′（x）=$\frac{（4x-1）（mx+2）}{x}$，0＜m＜1，函数在（0，$\frac{1}{4}$）上单调递减，在（$\frac{1}{4}$，+∞）上单调递增，分类讨论求y=f（x）在[m²，m]上的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=-2lnx+2mx²+（8-m）x，
∴f′（x）=-$\frac{2}{x}$+4mx+（8-m），
∵y=f（x）在x=2处有极值，
∴f′（2）=-1+8m+（8-m）=0，
∴m=1；
（2）f′（x）=$\frac{（4x-1）（mx+2）}{x}$，0＜m＜1
∴函数在（0，$\frac{1}{4}$）上单调递减，在（$\frac{1}{4}$，+∞）上单调递增，
∴m≤$\frac{1}{4}$，y=f（x）在[m²，m]上的最小值f（m）=-2lnm+2m³+（8-m）m；
$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{1}{2}$，y=f（x）在[m²，m]上的最小值f（$\frac{1}{4}$）=4ln2-$\frac{1}{8}$m+2；
m≥$\frac{1}{2}$，y=f（x）在[m²，m]上的最小值f（m²）=-4lnm+2m⁵+（8-m）m²．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．