Question

14．已知|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1．

Answer 1

分析 联立|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$与$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，得到|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，结合|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，求得$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$，再由$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$展开整理得答案．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，①
又$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，得|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=$\frac{3}{2}$，②
联立①②，得tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$θ=\frac{π}{6}$．
代入①，得|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，③
又|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，④
联立③④得：$|\overrightarrow{a}|=1，|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$．
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$1-2×1×\sqrt{3}×cos\frac{π}{6}+3$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，关键是明确$|\overrightarrow{a}{|}^{2}=（\overrightarrow{a}）^{2}$，是基础的计算题．