Question

4．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{2^{-x}}+1，x≤0\\ f（x-1），x＞0\end{array}\right.$，若方程f（x）=log_a（x+2）（0＜a＜1）有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）与y=log_a（x+2）的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，列出不等式组解出．

解答 解：∵当x＞0时，f（x）=f（x-1），
∴f（x）在（0，+∞）上是周期为1的函数，
做出y=f（x）与y=log_a（x+2）的函数图象，则两函数图象有2个交点，

∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}2＞-1}\\{lo{g}_{a}3≤-1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}≤a＜\frac{1}{2}$．
故答案为：$[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期性的应用，属于中档题．