Question

14．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设公差d不为零的等差数列{a_n}，运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设公差d不为零的等差数列{a_n}，
a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
可得a₂²=a₁a₅，
即为（1+d）²=1×（1+4d），
解得d=2，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1（n为正整数）；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{•a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$（n为正整数）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．