题目内容
12．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{5}$，左、右交点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且满足|OP|=|OF2|（O为坐标原点），则|PF1|：|PF2|等于（ ）| A． | $\sqrt{2}$：1 | B． | $\sqrt{3}$：1 | C． | 2：1 | D． | $\sqrt{6}$：2 |
分析 运用双曲线的离心率的公式可得c=$\sqrt{5}$a，再求得b=2a，由|OP|=|OF2|可得PF1⊥PF2，运用双曲线的定义和勾股定理，解方程可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，进而得到所求的比．
解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，即c=$\sqrt{5}$a，
可得b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=2a，
由|OP|=|OF2|可得PF1⊥PF2，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，①
由勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，②
由①②解得|PF1|=$\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}$+a=4a，
|PF2|=$\sqrt{2{c}^{2}-{a}^{2}}$-a=2a，
可得|PF1|：|PF2|=2：1．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和直角三角形的性质，以及勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
我国的人口呈现老龄化趋势，某城市为提高老年人的养老服务质量，分别从甲、乙两个社区随机抽取了7名70岁以上的老年人进行走访，这14名老年人的年龄如图的茎叶图所示，其中甲社区7人的平均年龄为85岁．
7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足a3=a1+a2，则$\frac{{a}_{9}+{a}_{10}}{{a}_{7}+{a}_{8}}$等于（ ）
| A． | 2+3$\sqrt{2}$ | B． | 2+2$\sqrt{2}$ | C． | 3-2$\sqrt{2}$ | D． | 3+2$\sqrt{2}$ |
7．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，C为E上的一点，若A，B，C三点构成顶角为120°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
| A． | $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ | B． | $\sqrt{\frac{8\sqrt{3}-9}{3}}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |
17．关于函数f（x）=|tanx|的性质，下列叙述不正确的是（ ）
| A． | f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$ | |
| B． | f（x）是偶函数 | |
| C． | f（x）的图象关于直线x=$\frac{kπ}{2}$（k∈Z）对称 | |
| D． | f（x）在每一个区间（kπ，kπ+$\frac{π}{2}$）（k∈Z）内单调递增 |
4．设集合A={x|（x-1）（x+2）＜0}，B={-1，0，3}，则A∩B=（ ）
| A． | {-1，0} | B． | {0，3} | C． | {-1，3} | D． | {-1，0，3} |
1．将$y=cos（{2x+\frac{π}{4}}）$的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，则平移后图象的一个对称中心是（ ）
| A． | $（{\frac{3π}{8}，0}）$ | B． | $（{\frac{π}{8}，0}）$ | C． | $（{\frac{3π}{4}，0}）$ | D． | $（{\frac{π}{4}，0}）$ |