Question

7．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，C为E上的一点，若A，B，C三点构成顶角为120°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{\frac{8\sqrt{3}-9}{3}}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 可设C为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）右支上一点，由题意可得∠ABC=120°，|BC|=|AB|=2a，由三角函数的定义求得C的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：可设C为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）右支上一点，
由题意可得∠ABC=120°，|BC|=|AB|=2a，
可得C（a+2acos60°，2asin60°）即（2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线的方程可得，
$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，化简可得a=b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及三角函数的定义求得点的坐标，考查化简整理的运算能力，属于中档题．