Question

12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且周期T=2，当x∈（-1，0）时，f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²，试判定当x∈（2k，2k+1）（k∈Z）时，f（x）的单调性．

Answer 1

分析 当x∈（2k，2k+1）（k∈Z）时，f（x）的单调性，与x∈（0，1）时f（x）的单调性一致，与x∈（-1，0）时f（x）的单调性相反，利用导数法，可判断函数的单调性．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且周期T=2，
∴当x∈（2k，2k+1）（k∈Z）时，f（x）的单调性，
与x∈（0，1）时f（x）的单调性一致，
与x∈（-1，0）时f（x）的单调性相反，
∵当x∈（-1，0）时，f（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²，
f′（x）=3x²+3x=3x（x+1）＜0恒成立，
故f（x）在区间（-1，0）上为减函数，
故当x∈（2k，2k+1）（k∈Z）时，f（x）为增函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，导函数符号与原函数单调性的关系，难度中档．