Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，-2≤x≤0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-2ax-2a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$）
• C． （0，$\frac{1}{2e}$）
• D． [$\frac{ln3}{6}$，$\frac{1}{2e}$）

Answer 1

分析 由题意可得|f（x）|=2a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象，考虑直线经过点（2，ln3）和y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切的情况，求得a，运用导数的几何意义，即可得到a，进而通过图象观察即可得到所求范围．

解答 解：g（x）=|f（x）|-2ax-2a的图象与x轴有3个不同的交点，
则|f（x）|=2a（x+1）有3个不同的实根，
即有函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象有3个交点，
作出函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象，
当直线经过点（2，ln3）两图象有3个交点，即有2a=$\frac{ln3}{3}$，即a=$\frac{ln3}{6}$；
当直线与y=ln（x+1）（0＜x≤2）相切时，两图象有2个交点．
设切点为（m，n），则切线的斜率为$\frac{1}{1+m}$=2a，
又n=2a（m+1），n=ln（m+1）．
解得a=$\frac{1}{2e}$，m=e-1＜2，
则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是[$\frac{ln3}{6}$，$\frac{1}{2e}$）．
故选D．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想方法是解题的关键．