题目内容
20．已知函数y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-{x}^{2}+2x+3）$（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的值域；
（3）求f（x）的单调递减区间．
分析 （1）由函数解析式和对数的真数大于零列出不等式，求出解集可得f（x）的定义域；
（2）由函数的定义域和二次函数的性质求出t=-x2+2x+3f的值域，由对数函数的性质求出（x）的值域；
（3）由二次函数的性质求出t=-x2+2x+3的单调区间，由对数函数的单调性和复合函数的单调性求出f（x）的单调区间．
解答 解：（1）由-x2+2x+3＞0得，-1＜x＜3，
所以函数f（x）的定义域是（-1，3）；
（2）设t=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
因为-1＜x＜3，所以0＜t≤4，
则$lo{g}_{\frac{1}{2}}（-{x}^{2}+2x+3）≥$-2，
所以f（x）的值域是[-2，+∞）；
（3）由（1）可得，函数f（x）的定义域是（-1，3），
所以函数t=-x2+2x+3在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减，
所以函数f（x）减区间是（-1，1）、增区间是（1，3）．
点评 本题考查对数函数的定义域、值域、单调性，二次函数的性质，以及复合函数的单调性，属于中档题．
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