题目内容
17.已知函数f(x)=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$.(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性;
(3)判断函数在(-∞,0)的单调性.
分析 (1)利用分母不为0,即可求函数的定义域;
(2)验证f(-x)=-f(x),即可判断函数的奇偶性;
(3)f(x)=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=1+$\frac{2}{{2}^{2x}-1}$,即可判断函数在(-∞,0)的单调性.
解答 解:(1)由2x-2-x≠0,可得x≠0,
∴函数的定义域为{x|x≠0};
(2)f(-x)=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{2}^{-x}-{2}^{x}}$=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数;
(3)f(x)=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}}{{2}^{x}-{2}^{-x}}$=1+$\frac{2}{{2}^{2x}-1}$在(-∞,0)是增函数.
点评 本题考查函数的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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