题目内容
3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长等于2$\sqrt{3}$，左焦点将长轴分为长度之比为1：3的两段．（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆C上第一象限内的一点，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与y轴交于点N，若△M0A与△N0B的面积之和等于6，求P点坐标．
分析 （I）由左焦点将长轴分为长度之比为1：3的两段，可得$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{3}$，化为a=2c．联立$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{2b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）设P（x0，y0）（x0，y0＞0）．则直线PA的方程为：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，可得M$（0，\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．同理可得：N$（0，\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}）$．于是S△MOA=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，S△NOB=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$．根据△M0A与△N0B的面积之和等于6，可得$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=6．与$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$．则$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$联立解出即可．
解答 解：（I）∵左焦点将长轴分为长度之比为1：3的两段，∴$\frac{a-c}{a+c}$=$\frac{1}{3}$，化为a=2c．
联立$\left\{\begin{array}{l}{a=2c}\\{2b=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）设P（x0，y0）（x0，y0＞0），$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$．
则直线PA的方程为：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，可得M$（0，\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．
直线PB的方程为：$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，可得N$（0，\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}）$．
∴S△MOA=$\frac{1}{2}|OA||OM|$=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，S△NOB=$\frac{1}{2}|OB||ON|$=$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$．
∵△M0A与△N0B的面积之和等于6，
∴$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$+$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$=6．
化为：$4{y}_{0}=12-3{x}_{0}^{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{4{y}_{0}+3{x}_{0}^{2}=12}\\{3{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{2\sqrt{6}}{3}}\\{{y}_{0}=1}\end{array}\right.$，
∴P$（\frac{2\sqrt{6}}{3}，1）$．
点评 本题考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
