Question

7．已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin²x-1，（x∈R）
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）若f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和差角公式化简f（x），根据正弦函数的性质得出f（x）的最大值；
（2）由f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$可得sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，根据α的范围得出cos（$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，再利用差角公式计算cosα．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最大值为$\sqrt{2}$．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴$α+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴cos（$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴cosα=cos[（$α+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（$α+\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（$α+\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，三角函数求值，属于中档题．