题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
2
3
3
，且过点P（
6
，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．
（Ⅰ）由题意
c
a
=
2
3
3
6
a2
-
1
b2
=1
，∴a2=3，b2=1，∴双曲线C的方程为
x2
3
-y2=1；
（Ⅱ）∵直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点，
∴方程组
x2
3
-y2=1
y=kx+
2
恒有两组不同的实数解，
∴方程(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0有两个不同实根，
∴
1-3k2≠0
△=(-6
2
k)2+4×9(1-3k2)＞0
，∴k2＜1且k2≠
1
3

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
6
2
k
1-3k2
，x1x2=-
9
1-3k2

∵
OA
•
OB
＞2，∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+
2
k(x1+x2)+2＞2，
∴
k2-3
1-3k2
＞0，又∵k2＜1，
∴k∈(-1，-
3
3
)∪(
3
3
，1)．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知点A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点，若点C(
3
2
，
3
2
)在椭圆上，且满足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O为坐标原点）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与椭圆交于两点M，N，当
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)时，求△OMN面积的最大值．
已知圆C过定点F（-
1
4
，0），且与直线x=
1
4
相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B两点．
（I）求曲线E的方程；
（II）当△OAB的面积等于
10
时，求k的值；
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，点A，B关于y轴对称．一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点S(0，-
3
)，T(0，
3
)，求∠SPT的最小值；
（3）若点F(1，
3
2
)是曲线E上的一点，设M，N是曲线E上不同的两点，直线FM和FN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：
1
y1
+
1
y2
=
1
b
；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．
设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率e=
1
2
，一个短轴的端点（0，
3
）；抛物线C2：y2=4mx（m＞0），焦点为F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．
已知双曲线的两条渐近线方程为直线l1：y=-
x
2
和l2：y=
x
2
，焦点在y轴上，实轴长为2
3
，O为坐标原点．
（1）求双曲线方程；
（2）设P1，P2分别是直线l1和l2上的点，点M在双曲线上，且
P1M
=2
MP2
，求三角形P1OP2的面积．
直线y=x-1被y2=x截得的弦长为（　　）
A．3B．2
3
C．
10
D．4
已知椭圆C的两焦点分别为F1（-2
2
，0）、F2（2
2
，0），长轴长为6，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度．

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