题目内容

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y2=2px（p＞0）于M（x1，y1），N（x2，y2）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：
1
y1
+
1
y2
=
1
b
；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．
（1）直线l的截距式方程为
x
a
+
y
b
=1．①
（2）证明：由①及y2=2px消去x可得by2+2pay-2pab=0．②
点M、N的纵坐标y1、y2为②的两个根，故y1+y2=
-2pa
b
，y1y2=-2pa．
所以
1
y1
+
1
y2
=
y1+y2
y1y2
=
-2pa
b
-2pa
=
1
b
．
（3）设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，
则k1=
y1
x1
，k2=
y2
x2
．
当a=2p时，由（2）知，y1y2=-2pa=-4p2，
由y12=2px1，y22=2px2，相乘得（y1y2）2=4p2x1x2，
x1x2=
(y1y2)2
4p2
=
(4p2)2
4p2
=4p2，
因此k1k2=
y1y2
x1x2
=
-4p2
4p2
=-1．
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．
F1，F2是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（　　）的一部分．
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
已知点P（x，y）满足椭圆方程2x2+y2=1，则
y
x-1
的最大值为______．
椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，
|CD|
|AB|
=2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（Ⅲ）求
F2A
•
F2B
的最值．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
2
3
3
，且过点P（
6
，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．
双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两条准线间距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为
2
2
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）双曲线C中是否存在以点P(1，
1
2
)为中点的弦，并说明理由．
已知曲线C?x2-y2=1及直线l：y=kx-1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为
2
，求实数k的值．
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
（3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网