题目内容

设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率e=
1
2
，一个短轴的端点（0，
3
）；抛物线C2：y2=4mx（m＞0），焦点为F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．
（1）由椭圆的离心率e=
c
a
=
1
2
，得
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
4
，∴a2=
4
3
b2．
又b=
3
，∴a2=4，则a=2，c=1．
∴椭圆C1的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1．
抛物线C2的焦点为（1，0），∴m=1，则抛物线方程为：y2=4x；
（2）由于△PF1F2周长为 2a+2c=6，故弦长|A1A2|=6，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），
代入抛物线C2：y2=4x，化简得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=
2k2+4
k2
，x1x2=1，
∴|A1A2|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=
(1+k2)[(
2k2+4
k2
)2-4]
=6，解得：k=±
2
．
故直线l的斜率为：±
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知定点A（2，2），M在抛物线x2=4y上，M在抛物线准线上的射影是P点，则MP-MA的最大值为（　　）
A．1B．
5
C．
7
D．5-2
2
已知直线l与椭圆C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=
6
2
，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x12+x22和y12+y22均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
如果椭圆
x2
36
+
y2
9
=1的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（　　）
A．x+4y=0B．x+4y-10=0C．x+4y-6=0D．x-4y-10=0
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
2
3
3
，且过点P（
6
，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA
•
OB
＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．
设x，y∈R，
i
，
j
为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，则OAPB为矩形，试求AB方程．
如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范围．
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2
2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值时m的值．

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