Question

6．已知函数f（x）=e^x-ax-1，g（x）=ln（e^x-1）-lnx，若?x₀∈（0，+∞），使得f（g（x₀）＞f（x₀）成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 当x＞0时，e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；从而由导数求得a的范围．

解答 解：e^x-x-1的导数为e^x-1，当x＞0时，y=e^x-x-1递增，
即有e^x-1＞x，故对?x＞0，g（x）＞0；
构造函数H（x）=xe^x-e^x+1（x＞0），则H′（x）=xe^x＞0；
故函数H（x）在（0，+∞）上单调递增，
则H（x）＞H（0），
则?x＞0，xe^x-e^x+1＞0成立，
即g（x）＜x在x＞0时恒成立，
当a＞1时，e^x-ax-1的导数为e^x-a，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，
在（0，lna）上单调递减，
当0＜x＜lna时，0＜g（x）＜x＜lna，
所以f（g（x））＞f（x），
所以满足题意的a的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用：求单调区间，考查单调性的运用和存在性问题的解法，属于中档题．