题目内容
11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），点M是椭圆上任意一点，△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2，且△MF1F2面积的最大值是1．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若N是椭圆上一点，点M，N不重合，O为坐标原点，当直线MN的斜率为2时，求△OMN面积的最大值．
分析 （1）由点M是椭圆上任意一点，△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2，且△MF1F2面积的最大值是1．可得$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=2\sqrt{2}+2}\\{\frac{1}{2}×2c×b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设直线MN的方程为：y=2x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：9x2+8mx+2m2-2=0，△＞0，利用根与系数的关系可得|MN|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．原点到直线MN的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，可得S△OMN=$\frac{1}{2}|MN|$d，再利用基本不等式的性质即可得出．
解答 解：（1）∵点M是椭圆上任意一点，△MF1F2的周长是2$\sqrt{2}$+2，且△MF1F2面积的最大值是1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+2c=2\sqrt{2}+2}\\{\frac{1}{2}×2c×b=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线MN的方程为：y=2x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：9x2+8mx+2m2-2=0，
△＞0，可得：m2＜9．
∴x1+x2=$\frac{-8m}{9}$，x1x2=$\frac{2{m}^{2}-2}{9}$，
∴|MN|=$\sqrt{（1+{2}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5[\frac{64{m}^{2}}{81}-\frac{4（2{m}^{2}-2）}{9}]}$=$\frac{2\sqrt{5（18-2{m}^{2}）}}{9}$．
原点到直线MN的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，
∴S△OMN=$\frac{1}{2}|MN|$d=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5（18-2{m}^{2}）}}{9}$×$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}（18-2{m}^{2}）}}{9}$$≤\frac{\sqrt{\frac{1}{2}（\frac{2{m}^{2}+18-2{m}^{2}}{2}）^{2}}}{9}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当m=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴△OMN面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | {x|-1＜x＜0} | B． | {x|0＜x≤2} | C． | {x|0＜x＜2} | D． | {x|0＜x≤1} |
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | -$\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D． | -$\frac{\sqrt{3}}{4}$ |
| A． | （0，+∞） | B． | （0，1） | C． | （1，+∞） | D． | [1，+∞） |